中学28届第2试 高二（全国卷）-答案 1第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第 2 试· 参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 C 6 C 7 D 8 D 9 C 10 B 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 题号 答案 11 1 16 2017 12 12 17 ( 0 ,  ) 13 19 18 507 16 14 25 19 1 15 25 20 y 75 7 三、解答题 21．（1）因为 所以 即 函数 y  f ( x  ) 是偶函数， 2 f ( x  1 2 f ( 1 2  x)  f ( 1 2 )  f (x  1 2  x) ， )， 1 所以二次函数 f ( x )  x 2  bx  c 的对称轴方程是 x 1 2 ， (3 分) 即x   又因为 b 2 1  1 2 ，解得 b  1. 二次函数 f ( x )  x 2  bx  c 的图象过点（1，13）， 所以 即 因此，f ( x ) 的解析式为 （2）由点 P ( m , n 2 ) 在函数 y 1 b  c  1， 3 c  13  1  1  11 . f ( x )  x  x  11 . 2 （5 分）  f ( x) 的图象上，得 2 m  m  11  n 2 ， 即 亦即 注意到 [ 2 n 4 n  (2 m  1)  43 ， 2 2 ( m2 1 ) n] [ 2m   ( 2.  1)] 43 43 是质数，且 2 n  (2 m  1)  0 ， m , n  N ， 得  2 n  ( m2   2 n  ( m2 1 ) 1 ) 43, 1, 解得 m  1 0 ,   n  11. 所以点 P 的坐标 ( m , n 2 ) ，即 P（10，121）. （10 分） 22.（1）由 a 1  1 ， a n 1  a n  (  1) n n ( n  N * ) ，得 a 2  a 11  a 1  (  1)  1  1  1  0 ， 1 a3  a2  1  a 2 ( ) 1 2 2  0  2 . 2 （5 分） （2）由 a n 1  a n  (  1) n n ( n  N * ) ，得 a n  1  a n  (  1 )n ， n 即 a 2  a1   1 ， a3  a2  2 ， a4  a3  3 ， a5  a4  4 ， …… a n  a n 1  (  1) n 1  ( n  1) ， 将上面 n  1 个等式两端分别相加，并化简，得 a n  a 1   1  2  3  4    (  1) n 1  ( n  1) ， 又 所以 a1  1 ， a n  2  3  4    (  1) n 1  ( n  1) ， 注意到，上面等式右边共有 n  2 项，且从第 1 项开始，相邻两项的和为-1， 故 当 n 是偶数时， a n  n2 2  (  1)  2n 2 n3 2 n 1 2  (  1) ，最后一项为 n  1 ，此时 ； 当 n 是奇数时，前 n  3 项之和为 an  3n 2  n 1 .  n 1 （ n是 奇 数 ） ; 2  综上知， a n    2  n n是 偶 数 ） . （ 2  （10 分） （3）若 a n  2017 ，且 n 是奇数，则有 n 1 2  2017 ， 解得 若 a n  2017 ，且 n 是偶数，则有 n  4033 . 2n 2  2017 ， 解得 所以 a n  2017 时， n   4 0 3 2 ，与 n  N * 矛盾，舍去. n  4033 . （15 分） 23.（1）由 ( 3  1) sin 2  cos 2  2 3 cos 2   1 ，得 2( 3  1) sin  cos   1  2 sin   2 3 cos   1 ， 2 2 整理， 得 因为   (   sin   ( 3  1) sin  cos   2 3 cos   0 2 ， (*) , ) ，所以 22 c o  s 0 ， (*)式两边同除以 cos 2  ，得 解得 所以 于是 由 log a ( a  2 )  解得 1 2 t a  n 2 ( 3  ) t a n ， 1  3 0  1  tan   3 ，   4    3 ， 1 2  cos   1 ， ，得 0a2 a， 2  a  4. 所以曲线 C 的方程可化为 x 2 cos   y 2  1, a 因为 a  c os   0 ，所以曲线 C 是中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆，其离心率 
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