中学28届第2试 初三（全国卷）-答案 1第二十八届中学“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 2 试· 参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 题号 答案 1 B 6 B 2 A 7 D 3 B 8 A 4 B 9 C 5 B 10 C 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 题号 答案 11 23 12 3 17 95 2 13  x  2 x  16 14 2 或-4 19 18 3  8 m 15 10 或 20 3 1 29 2 16 -2018 18 17 20 三、解答题（每题都要写出推算过程） 21. (1) 设点 P 和点 Q 的坐标分别为(x1， y1)，(x2， y2)，则 x1  x 2  9 . 1 3 k x 联立直线与双曲线的方程，得 x 1  ， 整理得 因为 x  3 x  3k  0 . 2 （2 分） 点 P 和点 Q 是直线与双曲线的交点，  x1  x 2   3,   x1 x 2   3 k , 所以 因此 x1  x 2  ( x1  x 2 )  4 x1 x 2 2  (  3)  4  (  3 k ) 2  9  12 k ， 从而 解得 9  12 k  9 ， k=6. (2) 将 k=6 代入 x  3 x  3 k  0 ，得 2 （5 分） x  3 x  18  0 ， 2 解得 x1  3, x 2   6 ， 所以 y1  2, y 2   1 ， 即 点 P 和点 Q 的坐标分别为(3，2)，(-6，-1). 点 A 是直线 y  1 3 x  1 与 x 轴的交点， （7 分） 因为 所以 点 A 的坐标为(-3，0)， S PAB  1 2 1 2 3 2  1  (|  6 |  |  3 |)  3 2  2  (3  |  3 |)  6 ， 因此 S QAC  ， 故 △ PAB 和△ QAC 的面积比值= 6 : = 4. （10 分） 22. （1）如图，从点 A 作圆 O 的切线 A T ，切点为T ，连接 O T ， 设圆 O 的半径为 R ，则 A D· A P  AT  2 O A 2 O T 2 2 O A.  2 R 同理 因为 所以 从而 又在△ AOB 中， 所以 BC· P  OB  R . B 2 2 （2 分） A D· A P  B· B P C， OA  OB . OAB  OBA .  O AB   O BA   AO B  180 ， （5 分）  O A B  90   1 2 AOB . 又因为 OE  OF  R ， 所以  O F E  90   1 2 AOB ， 故 （2）由（1）证明可知 EF / / AB . （8 分） （ 2 p  1）（ m  1）  9 ， p  2 即 （ 2 p  1）  m  4   m  2   0 . p （10 分） （2 由 p 为质数且 p， p  1） 1 ，知 p |  m  4  与 p | ( m  2) 恰有一个成立. 若 p |  m  4  ，则 m  4  kp k  N ） （ ， 如果 k  1 ，则 2 p  1  p  6  p  5, m  9, O A  8 ; 如果 k  2 ，则 m +2  kp  6  2 p  1 矛盾; 若 p | ( m  2) ，则 m + 2  kp k  N ） （ ， 当 k  1, 2 时，易得不存在质数 p . 当 k  3 ， 此时， 2 p  1  k ( kp  6)  3(3 p  6)  7 p  19  p  2 ， 但 p  2 时，  m  4   m  2   1 0 无正整数解，矛盾; 综上知， O A = 8 . 23.（1）设 PF  a ， F E  b ， E B  c ．如图，连接 O P ． （15 分） P 　A K C F O E 2 1 B 依题意，由 1   2 ，可知 从而 又 O A  O C ，可知  P  P C A ， O P 平分  AO C ， O P AC ． 设垂足为 K ．因为 A B 为圆 O 的直径，所以  A C B  90  ， 又因为 所以 从而 由 AC  OP  AC ， O P P BC ， △ PKF ∽ △ BCF ，△ P O E ∽ △ B C E ． AB  3 ， （3 分） 5 ， BC  2 ，易知 
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