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中学28届第2试 初三(全国卷)-答案 [5页]

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中学28届第2试 初三(全国卷)-答案介绍
中学28届第2试 初三(全国卷)-答案 1第二十八届中学“希望杯”全国数学邀请赛 初三 第 2 试· 参考答案 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分.) 题号 答案 题号 答案 1 B 6 B 2 A 7 D 3 B 8 A 4 B 9 C 5 B 10 C 二、填空题(每小题 4 分,共 40 分.) 题号 答案 题号 答案 11 23 12 3 17 95 2 13  x  2 x  16 14 2 或-4 19 18 3  8 m 15 10 或 20 3 1 29 2 16 -2018 18 17 20 三、解答题(每题都要写出推算过程) 21. (1) 设点 P 和点 Q 的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),则 x1  x 2  9 . 1 3 k x 联立直线与双曲线的方程,得 x 1  , 整理得 因为 x  3 x  3k  0 . 2 (2 分) 点 P 和点 Q 是直线与双曲线的交点,  x1  x 2   3,   x1 x 2   3 k , 所以 因此 x1  x 2  ( x1  x 2 )  4 x1 x 2 2  (  3)  4  (  3 k ) 2  9  12 k , 从而 解得 9  12 k  9 , k=6. (2) 将 k=6 代入 x  3 x  3 k  0 ,得 2 (5 分) x  3 x  18  0 , 2 解得 x1  3, x 2   6 , 所以 y1  2, y 2   1 , 即 点 P 和点 Q 的坐标分别为(3,2),(-6,-1). 点 A 是直线 y  1 3 x  1 与 x 轴的交点, (7 分) 因为 所以 点 A 的坐标为(-3,0), S PAB  1 2 1 2 3 2  1  (|  6 |  |  3 |)  3 2  2  (3  |  3 |)  6 , 因此 S QAC  , 故 △ PAB 和△ QAC 的面积比值= 6 : = 4. (10 分) 22. (1)如图,从点 A 作圆 O 的切线 A T ,切点为T ,连接 O T , 设圆 O 的半径为 R ,则 A D· A P  AT  2 O A 2 O T 2 2 O A.  2 R 同理 因为 所以 从而 又在△ AOB 中, 所以 BC· P  OB  R . B 2 2 (2 分) A D· A P  B· B P C, OA  OB . OAB  OBA .  O AB   O BA   AO B  180 , (5 分)  O A B  90   1 2 AOB . 又因为 OE  OF  R , 所以  O F E  90   1 2 AOB , 故 (2)由(1)证明可知 EF / / AB . (8 分) ( 2 p  1)( m  1)  9 , p  2 即 ( 2 p  1)  m  4   m  2   0 . p (10 分) (2 由 p 为质数且 p, p  1) 1 ,知 p |  m  4  与 p | ( m  2) 恰有一个成立. 若 p |  m  4  ,则 m  4  kp k  N ) ( , 如果 k  1 ,则 2 p  1  p  6  p  5, m  9, O A  8 ; 如果 k  2 ,则 m +2  kp  6  2 p  1 矛盾; 若 p | ( m  2) ,则 m + 2  kp k  N ) ( , 当 k  1, 2 时,易得不存在质数 p . 当 k  3 , 此时, 2 p  1  k ( kp  6)  3(3 p  6)  7 p  19  p  2 , 但 p  2 时,  m  4   m  2   1 0 无正整数解,矛盾; 综上知, O A = 8 . 23.(1)设 PF  a , F E  b , E B  c .如图,连接 O P . (15 分) P  A K C F O E 2 1 B 依题意,由 1   2 ,可知 从而 又 O A  O C ,可知  P  P C A , O P 平分  AO C , O P AC . 设垂足为 K .因为 A B 为圆 O 的直径,所以  A C B  90  , 又因为 所以 从而 由 AC  OP  AC , O P P BC , △ PKF ∽ △ BCF ,△ P O E ∽ △ B C E . AB  3 , (3 分) 5 , BC  2 ,易知
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