中学28届第2试 初二（全国卷）-答案 1第二十八届“希望杯”全国数学邀请赛 初二 第 2 试· 参考答案 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 题号 答案 1 C 6 D 2 A 7 B 3 C 8 C 4 A 9 C 5 A 10 D 二、填空题（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 答案 题号 答案 三、解答题 11 2017 16 161 12 x＝﹣6 17 5 13 39  a  41 14 4 19 6 15 4 20 1 7 18 -69 每题都要写出推算过程. ì ï 21. 解： c 当作常数， í 将 解得 ï a = 7c - 3 ï b = - 11c + 7 ï î . （3 分） 因为 a，b，c 都是非负数， ì 7c - 3 ? 0 ï ï ï ï - 1 1c + 7 ? 0 í ， ï ï c³ 0 ï ï î 所以 解得 3 7 ＃c 7 11 . （6 分） M = 3a + b - 7 c = 3 ? (7 c 3 ) + (- 1 1c + 7 ) - 7 c = 3 c - 2 . （8 分） 当 3 7 ＃c 7 11 时，它的范围为 - 5 7 ? 3c 2? 1 11 ， 故 M 的最小值和最大值分别为 - 5 7 ,- 1 11 . （10 分） 22. （1）证明：连接 PQ，QR，RS，SP。 因为 P，Q，R，S 分别是线段 AB，BC，CD，DA 的中点， 所以 于是 PQ∥AC，SR∥AC，RQ∥BD，SP∥BD， PQ∥SR，RQ∥SP， （5 分） PR=SQ， 所以四边形 PQRS 是平行四边形。 因为 所以平行四边形 PQRS 是矩形， 故 因此 RS⊥RQ， AC⊥BD。 （8 分） （2）解：设 AC，BD 的交点为 O，由（1）知△OCD 是直角三角形， 由勾股定理，得 同理 OC2＋OD2＝CD2。 OA2＋OB2＝AB2， OA2＋OD2＝AD2，OB2＋OC2＝BC2， 所以 AB2＋CD2＝AD2＋BC2。 （12 分） 因为 AB=21，BC=18，CD= 3 51 。 所以 可得 21  3 51 2   2 2 2  AD  18 ， AD＝24。 23. 解：89－69＝20，即已知等式的左侧为 20 项的和， 70   71  89     r  100    r  100      r  100  ，      （15 分） 显然 所以 70 70  71   2 0 r     r  1 0 0  r  1 0    1 0 0 0      r   89  2 0 1 00   r  89  ，  100  于是 70  407   r  100   20   89  407  , r   , 100  20   因为  r    89   70   89   70     r  100    r  100    r  100  1   2 ，且一定是整数， 100      所以 70  89     r  100   20,  r  100   21 ，     （5 分） 即 r    70   71  89    ,  r  100  ,  ,  r  100  中有若干个 20 和若干个 21， 100      设其中有 x 个 20，则 解得 20x＋21（20－x）＝407， x＝13， 可知 70   71  82    r  r     r   20 ，  100   100  100       83   84  89     r  100    r  100      r  100   21 。      （10 分） 由 82  83     r  100   20,  r  100   21 ，     82 100 83 100 可得 解得 所以 20  r   21, 21  r   22, 2 0 .1 7  r  2 0 .1 8 ， 100 r   2017 . （15 分） 
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